1 &nb=
sp;
INTRODUCCIÓN
En los
sistemas eléctricos de potencia, y en general en las líneas de
transmisión (LT), se presentan fenómenos transitorios tales c=
omo:
sobretensiones temporales, sobretensiones por maniobra y sobretensiones por
descargas atmosféricas [1]. Para entender el comportamiento de estos
fenómenos, necesitamos modelos de LT que representan con exactitud e=
stos
transitorios electromagnéticos (TEM).
Los mo=
delos
de las LT varían en complejidad y eficiencia, dependiendo de la
precisión requerida. Los parámetros que constituyen estos mod=
elos
pueden ser constantes o dependientes de la frecuencia, también pueden
ser clasificados como parámetros de la LT concentrados o distribuido=
s.
_______________________________
* =
Correspondencia:
E-mail: jaimis.leon@unesp.br
Un mod=
elo
clásico para representar la LT, se basa en una cascada de circuitos =
π
[1-3]. Este modelo es considerado a parámetros concentrados y
constantes. Sin embargo, al hacer esta cascada se produce la naturaleza
distribuida de los parámetros de la LT.
Este m=
odelo
es utilizado en simulaciones de sobretensiones de maniobra y
conmutación. Para análisis de TEM, este modelo es usado para =
LT de
interés secundario, debido a que presentan en sus respuestas oscilac=
iones
numéricas.
Otro m=
odelo
de LT es el modelo de Bergeron, que se basa en la teoría de ondas
viajantes, por lo que resulta un modelo simple y eficiente [1,4]. Este mode=
lo
está constituido por parámetros constantes y distribuidos. Una
desventaja de este modelo es la no dependencia con la frecuencia de los
parámetros longitudinales, pero puede ser utilizado para representar=
la
LT tanto en simulaciones de sobretensiones por maniobra, conmutación=
y
descargas atmosféricas.
=
Por
último, el modelo capaz de representar con precisión los TEM =
de las
LT es el Universal Line Model (=
ULM) [5].
Este modelo está constituido por parámetros de la LT distribu=
idos
y dependientes de la frecuencia, y tiene como base la teoría de onda=
s viajantes.
El objetivo del
trabajo es determinar cuál de los tres modelos de LT, para simular T=
EM,
es más preciso. En este sentido son mostrados sus modelos
matemáticos y algoritmos que tienen como base flujogramas para las
simulaciones. También, es mostrado resultados de sobretensiones de
maniobra en una LT monofásica. Se formula como hipótesis que =
el
ULM es el modelo más preciso para simular transitorios en una LT. La
clasificación de los modelos se ilustra en la Figura 1.
Figura=
1. Clasificación
de los diferentes modelos de LT [1].
2&nb=
sp;
MODELO DE CASCADA DE CIRCUITOS π=
(MODELO A PARÁMETROS CONCENTRADOS CONSTANTES)
=
El mod=
elo de
LT a parámetros concentrados es empleado para simulaciones transitor=
ias
de energización y conmutación. Este modelo de LT puede ser re=
presentada
por una cascada de circuitos π [1,2]. Cada segmento de circuito π=
consta
de una resistencia y una inductancia en serie. Completando el circuito `=
0;,
hay componentes en paralelo: capacitancia y conductancia. En la Figura 2 se
muestra un elemento de circuito π [2,3].
Figura=
2. Un
circuito π.
=
La
LT monofásica de longitud d,=
representada
por la cascada de circuitos π, se muestra en la Figura 3 [2].
Figura=
3. LT
representada por una cascada de circuitos π.
=
En
la Figura 3, los parámetros =
R
y L son la resistencia e induct=
ancia
de cada circuito π respectivamente. Los parámetros G y C
son la conductancia y la capacitancia de cada circuito π respectivamen=
te.
Los parámetros R, L, G
y C son escritos como:
|
|
(1)<=
/span> |
=
=
En
la ecuación (1) los parámetros longitudinales R’, L’ y parámetros trasversales C’ y G’=
son
datos por unidad de longitud y n es
el número de circuitos π usados en la representación de =
la
LT. En base a los circuitos π de la Figura 3 es posible determinar las
siguientes ecuaciones diferenciales [2]:
|
|
(2)<=
/span> |
|
|
(3)<=
/span> |
=
De
las ecuaciones (2) y (3), se nota la influencia de la tensión y
corriente eléctrica del circuito π anterior y posterior,
respectivamente, en el circuito π especifico.
Si def=
inimos
las corrientes en los inductores y las tensiones en los capacitores como
variables de estado, el sistema de ecuaciones diferenciales resultantes par=
a la
cascada de circuitos π de la Figura 3 puede ser escrito como [2,3]:
|
|
(4)<=
/span> |
=
En
la ecuación (4), A y B son matrices de estado para la L=
T, [x] es el vector de variables de es=
tado y
[u] es el vector de entrada de =
datos.
Estas matrices y vectores son definidos a continuación [2]:
|
|
(5)<=
/span> |
|
|
(6)<=
/span> |
|
|
(7)<=
/span> |
=
En
las ecuaciones (5), (6) y (7), la matriz A
es cuadrada de orden 2n, la mat=
riz B
y matriz [x] tienen orden 2nx1.
=
El
sistema de ecuaciones en (4) puede ser solucionado por diversos méto=
dos
numéricos que resuelven ecuaciones diferenciales. En [2] se evaluaro=
n diferentes
métodos de integración, siendo la regla de integración
trapezoidal el método más robusto, ya que la precisión=
de
este se mosto menos sensible en función del aumento del paso de
cálculo.
=
La
ecuación (8) es resultado de usar el método de integraci&oacu=
te;n
trapezoidal [2,3].
|
|
(8)<=
/span> |
=
Simplificando
la ecuación (8), obtenemos [2,3]:
|
|
(9)<=
/span> |
=
Donde
A’, A’’ y B son matrices constantes que son descritas en =
las
ecuaciones (10), (11) y (12).
|
|
(10)=
|
|
|
|
(11)=
|
|
|
|
(12)=
|
|
=
El
algoritmo de este modelo utilizado para realizar las simulaciones de los TE=
M tiene
como base el flujograma que se muestra en la Figura 4.
Figura=
4. Algoritmo
del modelo de cascada de circuitos π.
3 &nb=
sp;
MODELO DE BERGERON (MODELO A PARÁMETROS DIS=
TRIBUIDOS
CONSTANTES)
El modelo de
Bergeron [1,4] es un método de frecuencia constante basado en la teo=
ría
de las ondas viajantes. Inicialmente este modelo era utilizado para
líneas de transmisión sin perdidas, pero después en [4]
una extensión del modelo fue desarrollado para incluir las pé=
rdidas
de la LT. La inclusión de las pérdidas fue obtenida agregando
elementos de resistencia concentradas en ambos extremos de la LT sin perdid=
a. Aunque
estas resistencias se pueden insertar a lo largo de la línea dividie=
ndo
su longitud total en varias secciones, es mínima la diferencia y el =
uso
de apenas dos secciones en serie con las resistencias concentradas es
perfectamente adecuado. En la Figura 5 se muestra este modelo aproximado de=
la LT
[4].
Figura=
5. Modelo
de la LT con pérdidas.
Este modelo,
proporciona respuestas razonables, siempre que el valor de las resistencias=
concentradas
sea mucho menor al valor de la impedancia característica de la
línea [4]. Sin embrago=
, para
estudios de alta frecuencia (por ejemplo, portadora de línea de pote=
ncia),
este modelo puede no ser adecuado. El circuito equivalente de la Figura 5 en
representación Norton se muestra en la Figura 6 [4].
Figura=
6. Circuito
equivalente de la LT con pérdidas.
De la Figur=
a 6,
es obtenido un modelo para cada mitad de LT con pérdidas. Sin embarg=
o, como
solo los terminales k y m son de interés, son elimi=
nadas
las variables del punto medio colocando en cascada las dos secciones de med=
ia
LT. En consecuencia, se obtiene el modelo de LT que se muestra en la Figura=
7
[4].
Figura=
7. Modelo
de Bergeron para LT.
A partir de=
un
análisis realizado en [4], se obtiene las expresiones para las
corrientes, en el dominio de tiempo, para los terminales emisor y receptor.=
|
|
(13)=
|
|
|
(14)=
|
De las ecua=
ciones
(13) y (14), se observa que las corrientes imk e ikm en
el instante t se determinan a p=
artir
de las corrientes históricas en el tiempo (t-τ). Estas corrientes históricas son mostradas en=
las
siguientes ecuaciones [4].
|
=
|
(15) |
|
=
|
(16) |
Donde:=
|
|
(17)=
|
|
|
(18)=
|
|
|
(19)=
|
|
|
(20)=
|
=
En
la Figura 8, es mostrado el algoritmo en forma de flujograma del modelo de
Bergeron para realizar simulaciones de los TEM.
Figura=
8. Algoritmo
del modelo de Bergeron.
4 &nb=
sp; UNIVER=
SAL
LINE MODEL (ULM - MODELO A PARÁMETROS DISTRIBUIDOS E DEPENDIENTES DE=
LA FRECUENCIA)
El ULM [5] se basa en la formulación del ti=
po
de onda viajante y en las ecuaciones del Telegrafista, que en el dominio de=
la
frecuencia se expresan de la siguiente manera [5]:
|
|
(21)=
|
|
|
(22)=
|
Donde V e I
son las tensiones y corrientes de fase a lo largo del conductor, Z e Y
son respectivamente la impedancia en serie y la admitancia shunt, ambos en =
por
unidad de longitud.
Figura=
9. Diagrama
de la línea de transmisión monofásica.
Dado un seg=
mente
de línea de transmisión de longitud d como el representado en la Figura 9, la solución de (2=
1) y
(22) en términos de corrientes se expresan de la siguiente manera [5=
]:
|
|
(23)=
|
|
|
(24)=
|
Los sub&iac=
ute;ndices
k y m indican los valores de V
y I de los terminales emisor y
receptor, respectivamente. Yc y =
H
son respectivamente la admitancia característica y función
propagación para las ondas de corriente [5]:
|
|
(25)=
|
|
|
(26)=
|
En la Figur=
a 10 [5]
es mostrada la representación en el dominio de la frecuencia de los
terminales de la línea con dos equivalentes Norton. Ambos equivalent=
es
conforman el modelo completo de la línea de transmisión
monofásica. Téngase en cuenta que este modelo no tiene
conexión directa entre los dos extremos de la línea. Su relac=
ión
es solo a través de las fuentes de corriente auxiliar que implican un
retraso de tiempo. Por lo tanto, se dice que los dos extremos están
desacoplados en el tiempo.
Figura=
10. Diagrama
de la línea de transmisión monofásica.
=
=
Las
ecuaciones de la línea descritas en (23) y (24) deben resolvers=
e en
el dominio del tiempo para simular transitorios electromagnéticos. P=
or
lo tanto, la forma general en el dominio del tiempo da como resultado las
siguientes ecuaciones [5]:
|
|
(27)=
|
|
|
(28)=
|
=
Donde
las variables en minúscula son la representación en el dominio
del tiempo de sus contrapartes en mayúsculas y el símbolo *
indica una convolución. La solución de las ecuaciones (27) y =
(28)
se llevan a cabo de manera muy eficiente a través del análisis
del espacio de estados. Esto se hace cuando Yc y H se representan como funciones
racionales [5].
|
|
(29)=
|
|
|
(30)=
|
Los coefici=
entes
desconocidos c=
p,
ap<=
/i>,
aq<=
/i>
y f se calculan utilizando la
técnica llamada Vector Fitting [5] de la
representación de Yc
y H.
Una forma
compacta de la ecuación (27) es [5]:
|
|
(31)=
|
= Donde:
|
|
(32)=
|
|
|
(33)=
|
|
|
(34)=
|
=
La
misma idea de la forma compacta de la ecuación (27) se aplica para la
ecuación (28).
=
Finalmente,
para implementar el modelo ULM en el dominio del tiempo las convoluciones d=
e las
ecuaciones (27) y (28), se realizan usando métodos de espacio de est=
ado
discreto [5] que son de la siguiente forma:
|
|
(35)=
|
=
En
la Figura 11, se muestra el algoritmo en forma de flujograma del ULM para
realizar simulaciones de los TEM.
5 &nb=
sp;
SIMULACIÓN DE TRANSITORIOS Y ANÁLISI=
S DE
RESULTADOS
=
=
Las
simulaciones fueron realizadas para una LT monofásica de 100 km de
longitud, siendo energizada por dos tipos de fuentes: sinusoidal y
escalón unitario, en el terminal emisor. Por otro lado, el terminal
receptor se encuentra en dos estados: circuito abierto y conectado a una ca=
rga.
Para el cálculo de las impedancias por unidad de longitud, la LT fue
considerada de acuerdo a la Figura 12. En los tres modelos de la LT son
calculadas las tensiones en el terminal receptor. La implementación =
de
algoritmo de los modelos fue desarrollado en el lenguaje de programaci&oacu=
te;n
Matlab.
=
Figura=
11. Algoritmo
del ULM.
Figura=
12. LT
aérea.
=
Para
todas las simulaciones, se tuvo que V0=3D100
kV y ω=3D377 rad/s y los resultados fueron presentados en
valores por unidad (p.u.) siendo 100 kV el valo=
r base.
Los parámetros longitudinales (resistencia e inductancia) fueron
calculadas para un ancho de frecuencia de 0.1 Hz a 1 MHz y sus comportamien=
tos
son mostrados en la Figura 13. En las Figuras 14-17 se muestran los
transitorios de las tensiones en el terminal receptor obtenidas con los mod=
elos
cascada de circuitos π (LPM), Bergeron (MB) y Universal Line Model (ULM).
=
Para
el modelo LPM se utilizaron 100 circuitos π y los parámetros
constantes fueron calculados a 60 Hz, observándose la presencia de
oscilaciones numéricas que no representan el valor real de las
simulaciones y que pueden ser mejoradas a través de filtros o usando
circuitos π modificados. Para el modelo MB, los parámetros usad=
os
fueron calculados, también, a 60 Hz. Para el modelo ULM, los
parámetros usados fueron calculados para un ancho de frecuencia de 0=
.1
Hz a 1 MHz.
=
En
las Figuras 14 y 16 se observa que la tensión se duplica en la prime=
ra reflexión.
En las Figuras 15 y 17 se observa que, al conectar una carga (5 kΩ) en=
el
terminal receptor, las sobretensiones se atenúan debido a que la
resistencia las amortigua.
Figura=
13. Parámetros longitudinales de=
LT.
Figura=
14. Energización de LT en circui=
to
abierto y fuente escalón.
Figura=
15. Energización de LT con carga=
de 5 kΩ y fuente escalón.
Figura=
16. Energización de LT en circui=
to
abierto y fuente senoidal.
Figura=
17. Energización de LT con carga=
de 5 kΩ y fuente senoidal=
.
6 &nb=
sp; CONCLU=
SIONES
=
En
este trabajo se describieron tres modelos matemáticos de líne=
as
de transmisión para el cálculo de transitorios
electromagnéticos, demostrándose que el modelo Universal line
Model es el más preciso; validándose así la
hipótesis del trabajo.
=
Se
comprobó la utilidad práctica de los algoritmos en forma de
flujograma que se desarrollaron para cada modelo ya que con ellos se realiz=
aron
las simulaciones de transitorios electromagnéticos en el modelo
monofásico de una línea de transmisión energizada.
AGRADE=
CIMIENTOS
Agradezco
a la Facultad de Ingeniería Eléctrica de la UNESP-Brasil por =
el
soporte académico. También agradecer al Consejo Nacional de
Desarrollo Tecnológico y Científico CNPq=
-Brasil
por el soporte económico dado para poder realizar este trabajo.
REFERE=
NCIAS
[1]&=
nbsp;
Restrepo L., Caicedo, G., Cas=
tro. F. (2008). Modelos de línea de
transmisión para transitorios electromagnéticos en sistemas de
potencia. Revista Energía y
Computación, v. 16, p. 21-=
32.
[2] Araujo A., Silva R. and Kurokaw=
a S.
(2014). Comparing Lumped and Distributed Parameters Models in Transmission =
Lines
during Transient Conditions. IEEE P=
ES
T&D Conference and Exposition.
[3] Dommel, H. (1969). Digital computer
solution of electromagnetic transients in single and multiphase networks. IEEE Transactions on Power Apparatus a=
nd
Systems, v. 88,
p. 388-399.
[4] Mamis M., Kaygu=
suz
A. and Koksal M. (2010). State variable
distributed-parameter representation of transmission line for transient sim=
ulation.
Turkish J Elec=
Eng & Comp Sci, <=
/span>v. 18,
p. 31-42.
[5] Ramos-Lea&=
ntilde;os
O., Naredo J. and Gutierrez J. (2012). An Advan=
ced
Transmission Line and Cable Model in Matlab for=
the
Simulation of Power System Transients in MATLAB.
InTech Open - A Fundamental Tool for Scientific
Computing and Engineering Applications. v. 1, p. 269-304.
|
|
Los artículos publicados por TECNIA <=
span
class=3DSpellE>pueden ser compartidos
a través de la li=
cencia
Creative Commons: CC BY 4.0 Perú. Permisos lejos de este alcance pueden ser consultados
a través del corr=
eo
revistas@uni.edu.pe |