Análisis de Convergencia de una Iteración Inexacta RQ Truncada

Resumen

Este trabajo presenta una iteración inexacta RQ truncada y su análisis de convergencia. El presente algoritmo sirve para encontrar los autovalores (k autovalores, k \leq n) de una matriz A \in C(k, k) que puede ser esparza o densa, está dirigido principalmente para matrices de gran tamaño por ejemplo de orden 200. Parte de la iteración RQ por Givens que es semejante a la QR. Con el fin de evitar el número de cálculos se reduce la matriz a la forma Hessenberg (H) y a esta matriz reducida se le aplica la iteración RQ para producir una sucesión de transformaciones ortogonales hasta llevar a H a una triangular superior, donde los elementos expuestos en su diagonal son los autovalores. Para acelerar la convergencia se elige determinados desplazamientos {u_j} y se procede como el anterior. Para matrices de gran tamaño es casi imposible hacer tantas iteraciones y factorizaciones RQ. Para ello después de un número considerable de iteraciones se procede a truncar en un k paso, de tal forma que se siga actualizando la porción principal, aquí surge unas ecuaciones lineales que deben solucionarse, el análisis se centra en encontrar estas soluciones, buscando un método directo apropiado (iteración TRQ), luego se soluciona estas ecuaciones con un método iterativo precondicionado (iteración ITRQ). Finalmente se hace un análisis de su convergencia, llegando a mostrar que la TRQ es cuadrática y es cúbica si la matriz A es hermitiana. Y la iteración ITRQ es lineal.