Revista IECOS, Vol. 24, - N° 1 - 2023, pp. 74 - 101
MODELO AZBEL SIMPLIFICADO PARA AJUSTAR TABLAS DE MORTALIDAD PERUANAS CON FINES PREVISIONALES
SIMPLIFIED AZBEL MODEL TO ADJUST PERUVIAN MORTALITY TABLES FOR PENSION PURPOSES
Magen Danielle Infante Rojas
1, André Fabrizio Benito Santillán2, Geraldo Eloy Campos Palpa3, Alison Elizabeth Huapaya Caycho4
Facultad de Ingeniería Económica, Estadística y Ciencias Sociales, Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, Perú
E-mail: 1irdanielle@uni.edu.pe, 2andre.benito.s@uni.pe, 3geraldo.campos.p@uni.pe, 4alison.huapaya.c@uni.pe
1https://orcid.org/0000-0002-9292-7457, 2https://orcid.org/0009-0009-2927-3460, 3https://orcid.org/0009-0004-2979-3857, 4https://orcid.org/0009-0003-5521-8875
https://doi.org/10.21754/iecos.v24i1.1592
Recibido (Received): 12/11/2022 Aceptado (Accepted): 02/05/2023 Publicado (Published): 11/08/2023
RESUMEN
En esta investigación se estimó el Modelo Azbel Simplificado para verificar que sea un buen ajuste a las tasas de mortalidad con fines previsionales en Perú, utilizando tres métodos de estimación; método de máxima verosimilitud (MV), método Log-linear Regression-type y método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO). Las tablas de mortalidad se segmentaron en tres franjas de edades. Se confirmó que hay diferencia en el ajuste entre hombres y mujeres. Con las métricas de similaridad A/E y ARL, las tablas de mortalidad originales y las estimadas, se corroboran la hipótesis pues se concluye que las mejores estimaciones resultaron para las tablas SP2005, del género masculino con los métodos Log-linear Regression-type y mínimos cuadrados ordinarios, excepto para el rango entre 50 y 90 años. En mujeres sólo hay buen ajuste con el método Log-linear Regression-type a partir de los 15 años. El ajuste a las tablas SPP2017 apenas se aprecia en hombres con el método Log-linear Regression-type desde los 70 años y en mujeres desde los 80 años.
Palabras Clave: Modelo Azbel simplificado, medidas de similaridad, ajuste de mortalidad, tablas de mortalidad.
ABSTRACT
In this research, the Simplified Azbel model was estimated to verify that it is a good fit to mortality rates for pension purposes in Peru, using three estimation methods, maximum likelihood (MV), log-linear regression-type method and ordinary least squares (OLS) method. The mortality tables were segmented into three age groups. It was confirmed that there is a difference in the fit between men and women. With the A/E and ARL similarity metrics, the original and the estimated mortality tables, the hypothesis is corroborated since it is concluded that the best estimates resulted for the SP2005 tables, for the male gender with the Log-linear Regression-type and ordinary least squares methods, except for the range between 50 and 90 years of age. In women, there is only a good fit with the Log-linear Regression-type method from 15 years of age onwards. The fit to the SPP2017 tables is barely noticeable in men with the Log-linear Regression-type method from the age of 70 years and in women from the age of 80 years.
Keywords: Simplified Azbel model, similarity measures, mortality adjustment, life tables.
1. INTRODUCCIÓN
La tasa de la mortalidad para los cálculos previsionales es una medida útil para políticas públicas en el Sistema Privado de Pensiones (SPP). En el Sistema Nacional de Pensiones (SNP) Decreto Ley N° 19990, antes del 23 de Marzo de 2006 no se contaba con tablas de mortalidad con información poblacional del país, a partir de las resoluciones RS Nº 002-2006-EF (2006), RM Nº 757-2006-EF-15 del MEF (2006) y de la RM Nº 146-2007-
EF-15 (2007) se dispone de la tabla de mortalidad SP2005 que al presente no se ha actualizado. Respecto a las tablas de mortalidad que utilizan y han utilizado las Administradoras de Fondos de Pensiones (AFP’s) del SPP, ha habido intentos de modificarlas, desde hace años están bajo el escrutinio desde el Congreso de la República del Perú y de la opinión pública. Actualmente, la información de aspectos técnicos y justificaciones de las tablas de mortalidad es limitada en el SPP.
La gestión previsional, a nivel nacional, utiliza dos tablas de mortalidad. Para el sector público las tablas SP2005 y para el sector privado las tablas SPP2017 puesta en vigencia desde el 2017. Resulta necesario entonces, investigar características metodológicas de las tablas de mortalidad que son tan preponderantes para la sociedad asegurada.
El objetivo de esta investigación es mostrar que el modelo Azbel simplificado proporciona un buen ajuste de las tasas de mortalidad de las tablas SP2005 y SPP2017, y cuál método es el que proporciona mejor representación, si la estimación muestra diferencias respecto al género. Finalmente, qué discusión se puede extraer de los resultados. Notar que en el Perú aún son incipientes los estudios de estimación en tasas de mortalidad con fines previsionales.
Hay que enfatizar que el periodo y actualización de las tablas de mortalidad son importantes. Andreeski (2013), tocó el tema de la investigación con tablas actualizadas, se orientó al cálculo de los seguros de vida, utilizó Azbel con Lee-Carter para la estimación. Otras referencias para la estimación de la mortalidad, son Booth y Tickle (2008) que abordaron la expectativa, extrapolación y explicación partiendo desde un año específico.
El modelo a utilizar, trabajado por Andreeski y Vasant (2008), aplicado con éxito en otras regiones, se estimó con los métodos MV, Log-linear Regression-type y mínimo cuadrados ordinarios (MCO). Se buscó demostrar que la estimación del modelo Azbel simplificado por los métodos Log-linear Regression-type y de MCO proporcionan el mejor ajuste para hombres, difiriendo de las estimaciones para el género femenino. El modelo de Azbel aún no había sido utilizado para ajustar las tasas de mortalidad en el Perú. Se podrá determinar si este modelo que fue aplicado en La República de Macedonia por ejemplo, se puede aplicar para el Perú.
En la República de Macedonia se estudió que las primas de seguros de vida dependen de los valores de las tablas de mortalidad y por ello utilizaron el modelo de Azbel para identificar valores futuros de mortalidad (Andreeski C. , 2012). En el caso de estimación y predicción de tablas de mortalidad, en el futuro caso de escasez de datos, Tehrani et al. (2017) utilizaron tablas de mortalidad emitidas en los países desarrollados como fuente extranjera mediante pruebas estadísticas, luego, seleccionaron las mejores y más adecuadas fuentes.
Para Azbel (1997), la mortalidad natural está genéticamente programada y determina la probabilidad de muerte a cualquier edad. El mismo autor escribió que después de que mueren los portadores de defectos, la tasa de mortalidad programada genéticamente 𝑞𝑥ℎ a una edad dada x es igual a la ecuación (1)
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𝑞𝑥ℎ = 𝐴𝑏 exp[𝑏(𝑥 − 𝑋)] |
Donde b es el parámetro genotipo específico. h denota la homogeneidad en b de las poblaciones. Cuando b tiende a cero, la mortalidad se desvanece a cualquier edad y la esperanza de vida ƞ tiende a infinito. Supuesto: la fórmula es aplicable a poblaciones homogéneas en b. A y X son parámetros específicos de especie. Azbel (1997) empezó analizando la data de mortalidad de los humanos. Demostró que la mortalidad humana a una edad avanzada dada se reduce a un simple parámetro, que varía con la historia, con la raza, con la geografía, y dos parámetros, una edad característica y una constante, los mismos para toda la especie humana. Azbel considera que los últimos parámetros deben ser genéticamente programados, pues determinan la mortalidad natural. Para Andreeski y Vasant (2008), el modelo de Azbel es el modelo más simple para describir la función de mortalidad e identificar las mejores tablas de mortalidad. Como mencionado anteriormente, el modelo de Azbel es la siguiente ecuación (2):
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𝑞𝑥 = 𝐴𝑏 exp[𝑏(𝑥 − 𝑋)] |
Los autores determinaron que, eliminando el parámetro A, se debería utilizar los valores normalizados de las tablas de mortalidad en el rango de 0 a b (0-b). A le proporciona amplitud a la función.
La propuesta de Azbel se basa en la existencia de una ley de mortalidad que podría explicar con éxito el comportamiento de diferentes tasas de mortalidad, como las curvas de mortalidad humana. Su supuesto básico es la existencia de al menos una región de Gompertz en la tasa de mortalidad, lo que significa que debe existir alguna región en la curva de mortalidad donde el comportamiento sea predominantemente exponencial.
2. ANTECEDENTES
Heligman et al. (1980) estableció el desarrollo de una “ley de mortalidad” como expresión matemática para la graduación del patrón de mortalidad edad. En esa línea se encuentra a John Graunt (1962) en sus registros de defunciones, Edmun Halley en 1693, citado por Bacaër (2011) que propuso una expresión matemática que ajustó a la data de mortalidad Australiana post-guerra.
A la actualidad, la mayor parte de las contribuciones en modelos y métodos para estimar las tasas de mortalidad, tienen como punto de referencia la propuesta de Gompertz. Otras propuestas de Heligman y Pollard (1980) hicieron el trabajo con una ley de mortalidad y una expresión matemática, como lo hicieron Graunt (1662) y Edmun Halley (1693).
Las investigaciones de Azbel son útiles para justificar la dependencia genética en la mortalidad afirmando que, si la dependencia de la mortalidad no fuese genética, como la edad, la raza, etc, existiría una sola ley universal, lo que hasta el día de hoy no ha sido demostrado. Estos resultados de Azbel, preceden a cálculos estimados de tasas de mortalidad en función de la edad, género, de acuerdo a la ubicación geográfica representados en el parámetro de genotipo del modelo a ser aplicado.
Azbel (1996), explica que, si los estudios completos verifican la relación de la esperanza de vida con una edad específica de la especie genética sugerida, entonces la esperanza de vida puede manipularse genéticamente. Si los estudios verifican una ley unitaria de mortalidad, los resultados pueden generalizarse a todas las especies. Azbel (1999), arguye que la universalidad cuantitativa del metabolismo, la supervivencia y la evolución implica que todos los cambios evolutivos durante miles de millones de años están sujetos a restricciones biológicas fundamentales y que las leyes de la dinámica biológica y no biológica pueden ser tan diferentes como las leyes de la mecánica cuántica y clásica. Se considera un origen fenomenológico de estas leyes; se discuten sus simulaciones por computadora, implicaciones y desafíos. Para Azbel (2002), en poblaciones bien protegidas, una fracción dominante de la mortalidad a una edad dada depende de apenas un solo parámetro. Asimismo, aplica el concepto de invariancia a la data de mortalidad y predice una ley exacta de mortalidad invariante. Una base teórica del Modelo Azbel, de forma filosófica, corresponde a De Oliveira et al. (1999).
Con respecto a la estimación de la mortalidad, Booth y Tickle (2008) revisaron métodos observando el continuo crecimiento de la esperanza de vida más allá de los límites establecidos antes de la investigación, utilizaron los enfoques expectativa, extrapolación y explicación. Andreeski y Vasant (2008), expusieron que los intentos de encontrar una función de mortalidad apropiada conducen a funciones que no son fáciles de encajar con los datos de mortalidad reales. Azbel más recientemente, ofrece una función simple para las tablas de mortalidad por ajuste. Se necesita usar un enfoque numérico para encontrar los valores apropiados de los parámetros de la función para ajustar la función a los datos de mortalidad. Sugirieron que el modelo de Azbel simplificado ofrece una técnica más simple de ajuste de datos. Arató et al. (2009), sugirieron el uso de familias paramétricas en el modelado; por ejemplo, el modelo Azbel simple de 2 parámetros.
Por otro lado, Andreeski (2013), utiliza los modelos de Lee-Carter y Azbel para el cálculo de la tendencia de la mortalidad. Para evaluar los resultados, se utilizan conjuntos de datos con la mortalidad en la República de Macedonia. Richmond et al. (2021) mostraron cómo un modelo de juguete, que vincula la mortalidad con el sistema inmunitario, puede predecir la variación general de la tasa de mortalidad con el tiempo, abarcando fases infantil y adulta. Andreeski (2012), se orientó a las primas, con la diferencia que buscaba hallar valores futuros para la mortalidad. Arató et al. (2009) utilizaron Azbel de dos parámetros para encontrar cambios no previstos en tablas de mortalidad futuras como riesgos en el ámbito. Tehrani et al. (2017) utilizó Lee-Carter para medir riesgos en cambios de la mortalidad, con tablas en países desarrollados. Medir la variación general de la tasa de mortalidad fue desarrollado por Richmond et al. (2021).
Respecto a las comparaciones, Andreeski y Topuzoska (2016), investigaron en datos relacionados con la oferta de seguros de vida en la República Serbia y en la República de Macedonia. Su estudio fue comparativo para los mismos determinantes en cada contexto de país y su respectiva influencia en los seguros de vida. Bergeron et al. (2019) compararon cinco métodos extrapolativos basados en diferentes estadísticos de tablas de mortalidad: tasas de muerte, probabilidades de muerte, probabilidades de supervivencia y esperanza de vida al nacer, y mostraron las consecuencias de cambios en esos indicadores. En una aplicación similar a esta investigación, pero con el método Lee-Carter para estimar la mortalidad para la población peruana, realizada por Cerda y Sikov (2021), se estimaron los parámetros del modelo mediante el enfoque de descomposición de valores singulares, utilizando el modelo de promedio móvil integrado autorregresivo, mejor ajustado, para predecir valores futuros de las tasas central de mortalidad también como la esperanza de vida futura para los próximos treinta años. Mitchel y McCarthy (2002), aplicaron medidas para comparar tablas de mortalidad alternativas, aunque su aplicación fue para evaluar el impacto en la valoración de las anualidades.
3. HIPÓTESIS DE INVESTIGACIÓN
Hipótesis general:
El modelo Azbel simplificado permite ajustar los parámetros que conducen a estimar tasas de mortalidad peruanas, con un nivel de ajuste cercano a las tablas vigentes utilizando los métodos Log-linear Regression type, MCO y de MV.
Hipotesis específicas:
1. Las estimaciones de Azbel simplificado con los métodos MV, Log-linear Regression type y de MCO para la estimación de los parámetros del modelo de mortalidad, proporcionan buen ajuste de las tablas de mortalidad peruanas vigentes.
2. Los métodos Log-linear Regression type y de MCO en el modelo de Azbel simplificado, contribuye a obtener una buena estimación de la mortalidad, frente al método de MV.
3. Las estimaciones de la mortalidad con los métodos de MV, con los métodos Log-linear Regression type y de MCO, evidencian diferencias con respecto al género.
4. METODOLOGÍA
Se realizó una revisión de la producción referida a las leyes de la mortalidad. Seguidamente, se hizo una recopilación de los fundamentos de mortalidad propuestos por Azbel, los más relevantes y luego las aplicaciones. Se procedió a describir el modelo de Azbel, asimismo se hizo la descripción del modelo matemático para llegar al Modelo de Azbel Simplificado.
Esto explicado por Racco et al. (2021), si (𝑡) es el número de individuos vivos con la edad 𝑥 en el tiempo 𝑡, la mortalidad 𝑞 en una cierta edad 𝑥 en el tiempo 𝑡 es como se presenta en la siguiente ecuación (3):
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(3) |
Considerando el tiempo como una variable continua, tenemos (4):
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(4) |
Asumiendo que 𝑞𝑥 es una función exponencial del tiempo e integrando la ecuación anterior de 𝑡 − 1 a 𝑡 obtenemos la mejor definición de tasa de mortalidad:
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También podemos escribir 𝑁𝑥+1(𝑡 + 1) = (𝑡) − (𝑡) , donde 𝐷𝑥(𝑡) es el número de muertes en el tiempo 𝑡 con edad 𝑥 , y obtener
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(6) |
Siguiendo la afirmación de que cada tasa de mortalidad tiene su región de Gompertz, donde el logaritmo de la tasa de mortalidad está cerca de su regresión lineal
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(7) |
Ajustando las curvas de mortalidad de los datos demográficos, Azbel determinó los valores de 𝑎∗ y 𝑏. De hecho, Azbel trabajó con la tasa de mortalidad adimensional
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Con 𝑎 = 𝑎∗ − ln 𝑏. De cada curva de mortalidad se obtiene un par (a, 𝑏) y mediante un extenso estudio de datos demográficos de la población japonesa y sueca (que tienen una mortalidad prematura baja), Azbel demostró que los puntos determinados por 𝑎 y 𝑏 siguen una línea recta y por lo tanto pueden estar relacionados por 𝑎 = ln 𝐴 − . Con esto podemos escribir la tasa de mortalidad como en (1):
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La característica llamativa es el comportamiento de los parámetros con respecto a distintas poblaciones (en diferentes momentos): tablas de vida japonesas (1891-1990), suecas (1970-1991) y alemanas (1987), los ajustes dan X = 103 ± 2 años, ln 𝐴 = 2.4 ± 2 . Cincuenta tablas de vida suecas abreviadas (1780-1900) producen X = 101 ± 1 año, ln 𝐴 = 2.4 ± 0.1 ; 62 tablas de vida resumidas en todo el mundo proporcionan X =100.4 ± 2.3 , ln 𝐴 = 2.1 ± 0.3 , y todos los datos combinados (para unos pocos miles de millones de hombres y mujeres en diferentes países con estadísticas confiables, durante el período de dos siglos) arrojan casi la misma edad X = 103 ± 1 y número ln 𝐴 = 2.5 ± 0.1.
Con todos estos datos, Azbel propone que como X y 𝐴 son los mismos dentro de una especie, deben ser factores genéticos. Dado que para estos países desarrollados existe una baja mortalidad prematura, podemos decir que la mortalidad en estos países se debe principalmente a factores genéticos. La ecuación:
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es válida para cohortes (es un grupo que forma parte de un ensayo clínico o estudio al que se observa durante un período de tiempo) suficientemente homogéneas, es decir, individuos con los mismos factores genéticos afectarán su historia de vida. Las poblaciones homogéneas tienen tasas de mortalidad suaves, ya que la historia de vida de los individuos en situaciones normales es casi la misma. Cuando la población es heterogénea, algunas características pueden cambiar, como la aparición de Matusalén arbitrariamente viejos (se ha observado que, en las peores condiciones, 30 de 3 millones de moscas mediterráneas hembras deberían sobrevivir al año, 18,6 veces su esperanza de vida al nacer) y el aumento lineal de la vida útil máxima con la población inicial.
Función de verosimilitud para la estimación:
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(11) |
Si 
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Si se obtiene la derivación 
,
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(13) |
El estimador máximo verosímil será:
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(14) |
Se conocerá cuáles de los métodos estudiados para la estimación, proporcionaría mejores ajustes a las actuales tablas de mortalidad.
Se procuró aproximar estimadores de los parámetros del modelo Azbel Simplificado, con el método MV, por el Log-lineal Regression-type y el de MCO.
Se aplicaron medidas comparativas entre las estimaciones de las tasas de mortalidad y entre las tablas históricas, medidas propuestas por Arató et al. (2009). Asimismo, se realizaron tres pruebas de similaridad, con estadísticos como los desarrollados por Arató et al. (2009).
Las medidas de similaridad de Arató et al. (2009) también se aplicaron para establecer comparaciones del modelo MV con los ajustes MCO y Log-linear Regression-type. Para aplicar las medidas de similaridad se tuvo en cuenta lo siguiente:
Las tasas qi1 son los elementos de la tabla que se desea estimar, qi0 son los elementos de la tabla elegida como candidata para el aproximador. Ti es el número de exposiciones en el año i, los límites K y N se eligen de acuerdo con los objetivos del problema a resolver y a la data disponible.
La desviación cuadrática media ponderada:
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el estadístico 
(A over E), su explicación se puede encontrar en
Mitchell y McCarthy (2002): 
es la probabilidad de estar vivo a la edad 
, de acuerdo a la tabla base.
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el tiempo de vida esperado adaptado:
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(17) |
Mitchell y McCarthy (2002), buscaron hacer comparaciones a través de países. Propusieron cinco métricas para comparar tablas de mortalidad: diagramas de distribución de frecuencias, el método A/E, el método de vida restante esperada, el valor presente de la métrica anualidad de vida, y la tasa de retorno.
En la utilización de los diagramas de frecuencias o las distribuciones de la edad de muerte, la desventaja es que no se puede medir cuán lejos están una de la otra, dos tablas de mortalidad.
En el método A/E, denominado A sobre E, Expresa el número de muertes esperadas en una población con una estructura de edad dada utilizando una tabla ("el punto de referencia") y las compara con el número esperado de muertes en una población del mismo tamaño en una segunda tabla de mortalidad. Mitchell y McCarthy (2002) lo expresaron así,
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(18) |
𝑞𝑥∗es la probabilidad que un individuo de edad x muera de acuerdo a la tabla referencial.
𝑞𝑥 es la probabilidad que un individuo de edad x muera de acuerdo a la tabla nacional.
Los pesos 𝑤𝑥, son tal que 𝑤65 = 100,000 y 𝑤𝑥 = 𝑤𝑥1 (1 − 𝑞𝑥1 ).
Asimismo, Mitchell y McCarthy (2002) utilizaron el método de Esperanza de la vida restante dada una edad alcanzada en diferentes tablas. Utilizaron data de personas que alcanzaron los 65 años, teniendo así la vida restante esperada:
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es la probabilidad que un individuo
vivo a los 65 años viva hasta al menos x años.
𝑞𝑥:es la probabilidad que un individuo vivo a la edad x muera antes de alcanzar x + 1 años.
Se asume que las muertes se distribuyen uniformemente dentro de un año.
5. RESULTADOS.
Con respecto a las estimaciones de las tasas de mortalidad a partir del Modelo Simplificado de Azbel. Se realizaron los procedimientos de ajuste con los valores observados de las tablas vigentes, del sistema privado de pensiones SPP2017 y del sistema nacional de pensiones SP2005. En ambos casos se realiza el ajuste para hombres y para mujeres. Para todo el proceso de ajuste del modelo, para estimar las tasas de mortalidad se utilizaron los estimadores de MV, el estimador de Log-lineal Regression-type y el estimador de MCO.
Para mejorar el análisis de los ajustes de la tasa de mortalidad, haciendo referencia a las estimaciones de Arató et al. (2009), se segmentó el periodo de años de edad, considerando una franja etaria importante para analizar, las edades a partir de los 50 años hasta los 90 años, de los 70 años hasta los 90 años, de 80 a más y de 15 a 105 años. En la franja de 91 a 110 años, según los gráficos, comienza un comportamiento casi asintótico.
Se hace uso de la tabla de mortalidad SP-2005 del SNP, obtenida de la Oficina de Normalización Previsional (ONP) que está vigente. La tabla completa va desde los 0 años hasta los 110 años. Esta tabla se utiliza como valores observados para estimar los modelos. Las tablas SP-2005 se utilizan cuando se trata del titular o del beneficiario, como la viuda y la hija o el hijo menor de 18 años, se distingue el uso para sexo masculino y femenino.
Se utilizaron las tablas de mortalidad para personas sanas. Esta investigación se ha orientado al modelamiento de las tablas de mortalidad para personas sanas.
Método de Máxima Verosimilitud (MV) – SPP2017
El método de MV permitió obtener el valor del parámetro b de acuerdo a las edades obtenidas por el SPP2017. En la Figura 2 relacionado a hombres y en la Figura 1 relacionado a mujeres se muestran los valores de las tasas de mortalidad observados estimados por MV (línea roja) y la tabla de mortalidad original SPP2017 (línea azul).
Figura 1
Estimación MV de la función tasa de mortalidad vs la mortalidad en SPP2017 hombres
